Änderungsrate 1 - momentane Änderungsrate

Änderungsrate 1 - momentane Änderungsrate

Veröffentlicht am 18.10.2013

Autor: Gurdun S. - Kontaktieren

Der Wasserpegel des Behälters hängt von der Zeit ab. Die Funktion h beschreibt dies; somit also die Höhe des Wassers in Abhängigkeit von der Zeit. Zu Beginn betrug die Höhe 64 cm; nach 8 Minuten war der Behälter leer. Wir wollen die Änderung des Wasserpegels betrachten. Die mittlere Änderungsrate über den gesamten Zeitraum, für t also von 0 bis 8; beträgt -8 cm/Minute. Minus, weil die Höhe abnimmt. Sie entspricht der Steigung der Sekanten durch die beiden Punkte. Eine Sekante ist eine Gerade die eine Kurve, hier das Schaubild, in 2 Punkten schneidet. Die mittlere Änderungsrate ist ein Mittelwert. In der ersten Minute ist die mittlere Änderungsrate wesentlich höher, wie man auch an der Steigung der Sekanten sehen kann. In der letzten Minute ist sie wesentlich geringer. Die Änderungsrate ändert sich hier also jeden Moment. Wenn wir von der Änderungsrate zu einem GEWISSEN Zeitpunkt sprechen, so nennen wir dies die momentane Änderungsrate. Also, was ich wissen will ist nicht die Änderungsrate in den ersten fünf Minuten sondern die Änderungsrate zum ZeitPUNKT t=5. Nicht früher; nicht später. Hierzu betrachten wir als erstes die mittlere Änderungsrate 2 Minuten vor bzw. 2 Minute nach t= 5. Die beiden entsprechenden Sekanten haben eine unterschiedliche Steigung; die beiden Änderungsraten unterscheiden sich also recht beträchtlich. Für ein besseres Ergebnis betrachten wir nun ein Intervall von einer Minute vor bzw. nach t=5. Diese Werte sind sich schon näher. Wir führen das mit immer kleineren Intervallen weiter. Die mittleren Änderungsraten nähern sich an. Um so kleiner das Intervall wird, desto genauer kennen wird die momentane Änderungsrate zum Zeitpunkt t=5. Die Sekanten nähern sich immer mehr an; die beiden Punkte verschmelzen zu einem und wir sprechen nicht mehr von einer Sekante sondern von der Tangente. Eine Tangente ist eine Gerade, die eine Kurve, hier das Schaubild in EINEM Punkt berührt. Die momentane Änderungsrate ist also der Grenzwert der mittleren Änderungsrate für unendlich kleine Intervalle. Sie stimmt überein mit der Steigung der Tangenten im entsprechenden Punkt. Allgemein nennen wir die mittlere Änderungsrate Differentialquotient.

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